Kariera Mouncey jest niesamowicie zmienna. Jako Callum, swoją przygodę z piłką ręczną zaczęła w Canberra Handball Club. W tym zespole trenowała od 2009. Postępy w jej przygodzie ze szczypiorniakiem były bardzo szybkie, bo w 2013 roku została powołana do męskiej reprezentacji piłki ręcznej, gdzie zagrała 22 mecze.
Wiele zmieniło się w 2015 roku. Wówczas zdecydowała się na zmianę płci. Poszła za tym również zmiana dyscypliny sportowej. Już jako Hannah zadebiutowała w futbolu australijskim, który jest połączeniem paru dyscyplin, w tym futbolu amerykańskiego. Pasja do szczypiorniaka okazała się jednak większa.
Po rocznej przerwie, która spowodowana była decyzją federacji, ze względu na terapię hormonalną, Mouncey, już jako Hannah wróciła do piłki ręcznej, ale już w wydaniu kobiecym. Od razu stała się gwiazdą w Australii i bardzo szybko przebiła się do reprezentacji swojego kraju.
Pozwoliły jej na to przede wszystkim świetne warunki fizyczne, jak na kobiecy handball. Mouncey waży 100 kg i mierzy 190 cm, co na pozycji obrotowej ma ogromne znaczenie. Hannah przyczyniła się do sukcesu swojej reprezentacji, jakim było zajęcie piątego miejsca podczas mistrzostw Azji, co dało awans na mistrzostwa świata w piłce ręcznej w przyszłym roku.
Mouncey skarżyła się, że zarzuca się jej zbyt dużą wagę. 29-latka uważa, że to obraza dla wszystkich kobiet. - Pomyślicie jaki przekaz na temat ich ciał płynie do kobiet i dziewcząt. Mówi się im, że jak są zbyt duże, to nie mogą grać. To wsteczne i niebezpieczne - czytamy w "The Guardian"