Stuebner piłkarską karierę zaczynał w 1973 roku w BSG Motor Halle, ale bardzo szybko przeniósł się do największego klubu we wschodnich Niemczech, Dynamo Drezno. W seniorskiej drużynie występował przez dziesięć lat. W 182 ligowych spotkaniach zdobył 14 bramek. Stuebner dał się poznać przede wszystkim jako zawodnik z niesamowitą kondycją i zawziętością.
Stąd też wzięło się jego przezwisko, które brzmiało... "odkurzacz". Jak pisze o nim Berliner Zeitung, Niemiec był gwiazdą wyjątkowej szkoły Dynama. Dzięki swojej postawie w klubie, Stuebner był regularnie powoływany do kadry Niemieckiej Republiki Demokratycznej. Zagrał w niej 47 razy i podbijał serca fanów. Po zjednoczeniu Niemiec jego kariera zdecydowanie wyhamowała.
Gdy Stuebner zrezygnował już z zawodowego uprawiania sportu wpadł w życiowe tarapaty. Miał problemy finansowe, a także popadł w alkoholizm. Niedawno pojawiły się jednak informacje, że były piłkarz wyszedł na prostą. Pojawiał się na domowych meczach Dynama, a także rozpoczął pracę w gimnazjum w Dreźnie. Dlatego jego śmierć była dla fanów ogromnym zaskoczeniem. Na razie przyczyny zgonu Stuebner nie są znane.
