Największe sukcesy w kraju Kwoczała odniósł w roku 1959: tytuł indywidualny mistrza Polski oraz tytuł drużynowy z Włókniarzem Częstochowa.
Rok później wszedł do finału mistrzostw świata, który rozgrywany był na stadionie Wembley. Na tamtejszym torze, krótszym i bardziej skomplikowanym od torów w kraju, Polacy stale przegrywali. Kwoczała potrafił zdobyć 8 punktów i zająć 7. miejsce, wówczas najwyższe w historii polskich występów w MŚ. Być może pomogły mu występy w lidze angielskiej, jakie w tamtym roku zaliczył w barwach Leicesteru.
Sam Kwoczała nie miał już wiele możliwości, by pokusić się o stałe miejsce w światowej elicie. W maju roku 1961 na torze Wandy w Krakowie po przerwanym wyscigu najechał na niego przypadkowo jeden z rywali, Edward Kupczyński powodując złamanie podstawy czaszki.
Po tamtym wypadku żaden z nich nie wznowił już kariery zawodnika. Kwoczała wrócił do żużla tylko na krótko jako trener.
