31-letni piłkarz swoją karierę zaczynał bardzo późno. Na pierwszym treningu pojawił się w wieku 12 lat. Większą część przygody z piłką spędził w drużynach ze swojej ojczyzny. Występował m.in. w Mladost Lucani, czy Napredak Krusevac. Do Zagłębia Sosnowiec trafił w 2015 roku z FK Novi Pazar.
To właśnie w tym ostatnim klubie przekonał się, jak nieprzewidywalni potrafią być kibice. Serb na łamach "Przeglądu Sportowego" opowiedział o sytuacji, która spotkała go w 2015 roku. Udovicić w spotkaniu przeciwko Rad Belgrad nie wykorzystał "jedenastki", co przesądziło o porażce jego zespołu.
Dwa dni po feralnym spotkaniu w szatni drużyny pojawili się jej fani. Podejrzewali, że piłkarze ustawili wynik rywalizacji i Udovicić specjalnie nie wykorzystał rzutu karnego. Jeden z kibiców, po tym jak usłyszał zaprzeczenie od zawodnika, podszedł do niego bardzo blisko i wycelował pistolet w jego głowę.
Serb wspomina tę sytuację do dziś i mówi, że było to straszne przeżycie. - Nigdy tego nie zapomnę. Pięć albo dziesięć sekund nie wiedziałem, gdzie jestem - wyznał Udovicić. Piłkarz dostał polecenie od władz klubu, że o całym zajściu nie może wspomnieć w mediach.