Gregg przygodę z piłką zaczął w latach 40. XX wieku. Jego pierwszym juniorskim klubem był Windsor Park Swifts. Natomiast pierwszy zawodowy kontrakt podpisał z Doncaster Rovers. To właśnie z tej drużyny w 1957 roku trafił do Manchesteru United. W ekipie Czerwonych Diabłów rozegrał ponad dwieście spotkań i przez wielu uznawany jest za najlepszego bramkarza w historii klubu.
W 1958 roku był jednym z pasażerów feralnego lotu, w którym zginęli piłkarze Manchesteru United. Gregg szczęśliwie przeżył katastrofę i wsławił się tym, że bohatersko pomagał innym poszkodowanym i dzięki niemu udało się uratować zawodników United oraz wielu pasażerów. Po zakończeniu kariery prowadził specjalną fundację.
- Z najgłębszym smutkiem przyjęliśmy informację o śmierci byłego piłkarza Harry'ego Gregga. Myśli i modlitwy wszystkich w klubie kierujemy do jego rodziny i przyjaciół - czytamy na Twitterze Manchesteru United. - Harry Gregg zmarł spokojnie w szpitalu w otoczeniu swojej kochającej rodziny - poinformowała natomiast fundacja w specjalnym oświadczeniu.